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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.4. Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su conjunto solución en forma gráfica sobre la recta real.
f) $x^{2}-x-2 \geq 0$

Respuesta

Chan! Este item es muuuucho más fácil de resolverlo si ya viste función cuadrática... confiá en mi, si todavía no viste nada nada de función cuadrática, esperá a ver eso y después volvé. Yo te voy a mostrar cómo lo podemos resolver una vez que ya sabemos lo básico de funciones cuadráticas. 

Fijate que para resolver la desigualdad \(x^{2} - x - 2 \geq 0\), necesitamos encontrar los valores de \(x\) para los cuales la función cuadrática está por encima del eje $x$ o justo en él (porque nos dice mayor o igual). Es decir, tenemos que conocer los ceros de nuestra función cuadrática y el conjunto de positividad! 

Para buscar las raíces o ceros de la cuadrática igualamos la función a cero... 

$x^{2} - x - 2 = 0$

¿Cómo resolvemos esta ecuación? Es una cuadrática igualada a cero, grabatelooooo, con la fórmula resolvente! Si la aplicás, deberías llegar a que las raíces son $x=-1$ y $x=2$

Pensá ahora en la forma de esta parábola... El numerito que acompaña a $x^2$ es positivo, entonces es carita feliz no? Imaginate una parábola con sus raíces en -1 y 2... y es carita feliz... te das cuenta que el conjunto de positividad tiene que ser 
\(x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)\).

Perfecto, si ahora agregamos las raíces, la solución final a la desigualdad \(x^{2} - x - 2 \geq 0\) es el conjunto de todos los valores de \(x\) que están en los intervalos \((-∞, -1]\) y \([2, ∞)\).
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Avatar VICTORIA 15 de marzo 14:37
Hola Flor una pregunta. Cuando hago la formula resolvente me da X1:1 y X2:-2
Avatar Flor Profesor 17 de marzo 09:20
@VICTORIA Debe haber algún error de cuenta, te dejo acá los pasos en la resolvente para que chequees:

En este caso fijate que identificamos que...

- \(a = 1\)  - \(b = -1\)  - \(c = -2\) 

Al reemplazar en la resolvente nos queda:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Reemplazamos:

$\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$\frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Y por eso los resultados son $x=2$ y $x=-1$
Avatar ariel 8 de septiembre 22:49
Factorice por trinimio y me salio igual. No hay problema, no?
Avatar Flor Profesor 9 de septiembre 10:01
@ariel Hola Ariel! Nooo, si sabés como hacerlo deberías llegar también al mismo resultado, así que está bien también :) Cuando factorizas de esa manera también estás encontrando los ceros/raíces de la función, igual que cuando aplicamos la resolvente ;)
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